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Sujet : Qu'est-ce qu'un postulat en mathématique ?

Concepts : Qu'est-ce - qu'un - postulat - en - mathématique - ?

Extrait du corrigé : On peut donc aboutir à des propositions géométriques non contradictoires en partant d'un postulat différent du postulat d'Euclide sur les parallèles. Le postulat euclidien perd son caractère de «nécessité». D'autres sont concevables et mathématiquement féconds (ce qui réfute l'opinion kantienne qui voyait dans la structure de l'espace euclidien une forme a priori universelle et nécessaire de l'esprit humain). La géométrie euclidienne qu'on avait prise jusqu'au XIXe siècle pour un absolu apparaît comme un cas très particulier de géométrie, la géométrie d'un espace à courbure nulle. Le progrès des mathématiques ne consiste pas ici à nier les «vérités» mathématiques d'hier, mais à les situer comme un simple cas possible dans un ensemble plus vaste. La généralisation a consisté, ici encore, à transformer une constante (courbure nulle d'Euclide) en variable. Qu'en résulte-t-il quant à la nature des postulats ? Les postulats apparaissent désormais comme des «définitions déguisées» (Poincaré). Les postulats d'Euclide définissent un certain type d'espace géométrique, un certain type d'opérations géométriques possibles. C'est sans doute le caractère opératoire des postulats que Poincaré voulait signifier quand il disait que le mathématicien « fait de la géométrie avec l'espace comme il en fait avec de la craie ».

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