- Sujet : Qu'est-ce qu'un postulat en mathématique ?
- Concepts : Qu'est-ce - qu'un - postulat - en - mathématique - ? -
- Extrait du corrigé : On peut donc aboutir à des
propositions géométriques non
contradictoires en partant d'un
postulat différent du postulat
d'Euclide sur les parallèles. Le
postulat euclidien perd son
caractère de «nécessité». D'autres
sont concevables et mathématiquement
féconds (ce qui réfute l'opinion
kantienne qui voyait dans la
structure de l'espace euclidien une
forme a priori universelle et
nécessaire de l'esprit humain). La
géométrie euclidienne qu'on avait
prise jusqu'au XIXe siècle pour un
absolu apparaît comme un cas très
particulier de géométrie, la
géométrie d'un espace à courbure
nulle. Le progrès des mathématiques
ne consiste pas ici à nier les
«vérités» mathématiques d'hier, mais
à les situer comme un simple cas
possible dans un ensemble plus
vaste. La généralisation a consisté,
ici encore, Ã transformer une
constante (courbure nulle d'Euclide)
en variable.
Qu'en résulte-t-il quant à la nature
des postulats ? Les postulats
apparaissent désormais comme des
«définitions déguisées» (Poincaré).
Les postulats d'Euclide définissent
un certain type d'espace
géométrique, un certain type
d'opérations géométriques possibles.
C'est sans doute le caractère
opératoire des postulats que
Poincaré voulait signifier quand il
disait que le mathématicien « fait
de la géométrie avec l'espace comme
il en fait avec de la craie ».
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