Sujet : Le raisonnement mathématique est-il seulement un raisonnement logique ?

Extrait du corrigé :

LOGIQUE (gr. technè logikè, art ou science du raisonnement)

Gén. Étude des opérations par lesquelles l'esprit prétend élaborer des raisonnements cohérents (non contradictoires), et détermination des règles de construction auxquelles doivent obéir ces raisonnements pour être valides dans la forme, ou formellement vrais. La logique dite formelle, ou classique, fut d'abord codifiée par Aristote. Son objet est de fixer les conditions de validité formelle d'une démonstration sans se soucier de la vérité matérielle des propositions qui la composent. Log. Science de la validité des inférences, c.-à-d. de toute opération qui consiste à établir une proposition à partir d'une ou de plusieurs propositions antécédentes, en vertu de certaines règles opératoires. La logique moderne est formalisée ou algorithmique; on l'appelle logique symbolique pour la distinguer de la logique classique d'Aristote, dont les raisonnements (syllogismes) s'énoncent encore en grec selon la grammaire ordinaire de cette langue. Les modernes et les contemporains (de Leibniz à Russell) découvrent l'intérêt logique d'une langue artificielle qui permet d'exprimer, sans l'équivocité propre aux langues naturelles, les structures universelles de la pensée.

MATHÉMATIQUE (gr. mathèma, science)

Toute science dont l'objet est le nombre, l'ordre ou l'étendue.

RAISON (lat. ratio, calcul; faculté de calculer, de raisonner)
Ce terme connaît deux grandes acceptions : soit il désigne la faculté de penser, la « raison humaine », soit il désigne un principe d'explication, la « raison des choses ».
En tant que faculté de penser, la raison peut se définir encore en plusieurs sens, soit : 1. la faculté de raisonner discursive, de combiner concepts et propositions par opposition à la faculté de connaître intuitive (la ratio par opposition à l'intellectus chez saint Thomas, ou la raison par opposition au coeur chez Pascal); 2. la faculté de bien juger (comme chez Descartes) ou l'entendement qui « s'appelle raison en tant qu'il dirige au vrai et au bien », selon Bossuet. En ce sens s'oppose classiquement à la folie et à la passion qui consiste à raisonner mal, contrairement aux lois logiques ; 3. la connaissance naturelle par opposition à la connaissance révélée, la lumière» naturelle par opposition aux lumières de la foi» ; 4. un système de principes a priori dont la vérité ne dépend pas de l'Expérience . En ce sens, les vérités de la raison se distinguent du témoignage des sens autant que des révélations de la foi, si bien que Pascal voyait là trois ordres distincts de connaissance; 5. dès lors, toute une tradition définira usuellement la raison comme l'esprit humain en tant qu'il porte en lui les notions innées lui permettant de comprendre le monde, définition critiquée par les empiristes, et transformée par Kant; 6. la raison est pour Kant la faculté supérieure qui ramène à l'unité les règles de l'entendement» comme celui-ci fait la synthèse des éléments sensibles. Connaissance a priori et connaissance par la raison sont une même chose, et se distinguent ici de la connaissance par l'entendement (contrairement au sens 2 qu'on trouve par ex. chez Descartes). Le nom de Raison est réservé à un degré supérieur de synthèse des connaissances : si l'Entendement est la faculté des règles, la Raison est la faculté des principes. Elle est théorique lorsqu'elle fonde la science (et concerne uniquement la connaissance); pratique lorsqu'elle est considérée comme contenant le principe a priori de l'action morale.
En tant que principe d'explication, soit : 1. au sens théorique, ce qui rend compte d'un effet. Signifie alors plutôt raison d'être d'une chose à distinguer de sa cause simplement antécédente. Ainsi, se confond souvent avec la cause finale; 2. au sens normatif, le motif légitime d'un acte, sa justification (comme dans l'expression « non sans raison »). D'où : argument destiné à prouver qu'on a raison (« donner ses raisons »).